Kurva Normal

Distribusi  normal  adalah  distribusi  yang  mempunyai  kurva  berkesinambungan  dalam  bentuk lonceng / simetris.

Gambar Kurva Distribusi Normal :

Fakta Distribusi Normal merupakan kurva berkesinambungan menunjukan bahwa kurva  terdiri  dari  sejumlah  titik-titik  yang  tidak  terbatas,  dimana  bentuk  lonceng  dapat  lebih  datar atau lebih tinggi tergantung pada tingkat dimana variabel acak tersebar dari pusat  pendistribusian .Pusat Distribusi Normal disebut dengan Mean

Perhatikan  bahwa kedua  ekor  /  ujungnya  semakin  mendekati  sumbu  absisnya  tetapi tidak pernah memotong artinya kedua ekor / ujungnya terus berlanjut sampai  tidak  terhingga,  namun dalam  kenyataan  variabel  acak  tidak  mempunyai nilai  sampai  dengan  jarak  tidak  terhingga,  oleh  karena  itu  dalam  perhitungan  untuk  gambar  kurva  distribusi normal diambil kesepakatan sebesar 3 kali besarnya standart deviasinya

Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa 50 % dari kurva ada disebelah kanan Mean dan  50 % ada disebelah kiri Mean artinya Probabilita variabel acak X yang mempunyai nilai  lebih atau kurang dari Mean adalah 0,5 ( simetris terhadap mean )

Contoh Membuat Kurva Distribusi Normal :

Bila diketahui soal sebagai berikut :

Mean     = 4200

Standart Devisasi = 1400

Probabilitas untuk X yang mempunyai nilai sama dengan atau lebih besar dari 6000 ,

P (X) >= 6000

Maka Kurva Distribusi Normalnya adalah :

Pengertian Standart Deviasi

Standart Deviasi adalah pengukuran untuk penyimpangan standar yang konsisten untuk  semua distribusi normal. Pada Distribusi Normal probabilitas diukur berdasarkan jumlah deviasi standar variabel acak X nilai adalah dari Mean.  Adapun  besarnya deviasi  standart merupakan  akar  dari  varian

Contoh Menghitung Standart Devisasi

Dari salon kecantikan “ DEWI “ diambil secara acak sebagai sampel umur dari mereka (10  orang  )  yang  menjadi  pelanggan  baik  laki-laki  maupun  perempuan.  Umur  dari  kesepuluh pekanggan itu adalah sebagai berikut :

23,   38,   42,   25,  60,   55,   50,   42,   32,   35

Contoh Perhitungan Probabilitas Dengan Distribusi Normal

Toko karpet di Depok, menjual karpet Turki. Berdasarkan catatan penjualan beberapa  tahun manajemen toko menentukan  bahwa mean /  rata-rata dari  jumlah meter  karpet  Turki  yang  diminta  oleh  pelanggan  selama  seminggu  adalah  4200  meter  dan  deviasi  standart adalah 1400 meter.

Pertanyaannya :

1.  Manajer  toko  ingin  mengetahui  probabilitas  untuk  permintaan  karpet  Turki  dalam minggu yang akan datang dapat melebihi atau sama dengan 6000 meter

2.  Manajer toko ingin mengetahui probabilitas apabila permintaan karpet Turki adalah 5000 meter atau kurang

3.  Manajer toko ingin mengetahui probabilitas apabila permintaan antara 3000 meter sampai 5000 meter

Penyelesaian :

1 )   Berdasarkan data diatas maka dapat disimpulkan bahwa :

 Besarnya permintaan      = 6000 atau lebih

Mean / rata-rata dari distribusi normal  = 4200

Deviasi standart       = 1400

Menghitung Batas Atas dan Batas Bawah Distribusi Normal

Batas bawah  = 4200 - 3 ( 1400 )   = 0

Batas atas    = 4200 + 3 ( 1400 )   = 8400

·         Dilihat di tabel kurva normal terdapat nilai sebesar 0.9015

·         Sehingga  probabilitas  permintaan  karpet  Turki  lebih  besar  dari  6000  meter  adalah sebesar 1 - 0, 9015 = 0.0985 atau = 9,85 %

2 )   Berdasarkan data diatas maka dapat disimpulkan bahwa :

Besarnya permintaan      = 5000 atau kurang

Mean / rata-rata dari distribusi normal  = 4200

Deviasi standart       = 1400

Menghitung Batas Atas dan Batas Bawah Distribusi Normal

Batas bawah  = 4200 - 3 ( 1400 )   = 0

Batas atas    = 4200 + 3 ( 1400 )   = 8400

Dengan nilai Z sebesar 0,57 maka :

·         Dilihat di tabel kurva normal terdapat nilai sebesar 0.7157

·         Sehingga  probabilitas  permintaan  karpet  Turki lebih  kurang  dari  5000  meter  adalah sebesar  71,57 %

3)   Berdasarkan data diatas maka dapat disimpulkan bahwa :

Besarnya permintaan  = 3000 sampai dengan 5000 meter

Mean / rata-rata dari distribusi normal  = 4200

Deviasi standart       = 1400

Menghitung Batas Atas dan Batas Bawah Distribusi Normal

Batas bawah  = 4200 - 3 ( 1400 )   = 0

Batas atas    = 4200 + 3 ( 1400 )   = 8400

Dengan nilai Z sebesar 0.57 maka dapat dilihat di tabel kurva   Distribusi  Normal terdapat nilai sebesar 0.7157

Jadi probabilitasnya adalah : 0.7157 - 0.1949 = 0.5208   atau   52,08  %

CONTOH LAIN PROBABILITAS

Bila diketahui Mean  adalah   = 8,3

Standart Deviasi  adalah   = 1,8

Pertanyaan :

Bagaimana Probabilitas kejadian bila lebih kecil dari 5

Bagaimana Probabilitas kejadian bila lebih besar dari 10

Penyelesaian :

Langkah I : Membuat Kurva Distribusi Normal

Bila P  ( X<=5 ) :

maka  Z = (X - mean ) / deviasi= ( 5 - 8,3 ) / 1,8

= - 1,83

Dari tabel Distribusi Normal maka probabilita sebesar 0,0336

Jadi   P ( X<=5 ) = 3,36 %

Bila P  ( X>=10 ) :

maka  Z = (X - mean ) / deviasi= ( 10 - 8,3 ) / 1,8

= 0,94

Dari tabel Distribusi Normal maka probabilita sebesar 0,8264

Jadi   P ( X>=10 ) = 1 - 0,8264 = 0,1736   atau 17,36 %

Peluang

Dasar Teori Peluang

• Ruang Sampel

• Kejadian dan Operasinya

• Menghitung Titik Sampel:

– Permutasi

– Kombinasi

Ruang sampel

• Kumpulan dari semua hasil dari percobaan statistik, dinyatakan dengan notasi S

• Contoh: Percobaan pelemparan mata uang

Kejadian

• Dari setiap percobaan kita mungkin ingin mengetahui munculnya elemen-elemen dari ruang sampel yang mempunyai ciri tertentu.

Sekelompok titik sampel itu membentuk himpunan bagian dari S

• Contoh: Percobaan pelemparan 3 koin perasi dengan kejadian

• Definisi 1:

Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A B ialah kejadian yang unsurnya termasuk A dan B.

• Gambar diagram Venn

  

Definisi 2

Dua kejadian A dan B saling terpisah bila  A B = 0

• Contoh : Sebuah dadu dilantunkan. A menyatakan kejadian bahwa bilangan genap muncul di sebelah atas dan B kejadian bahwa bilangan ganjil yang muncul di sebelah atas

Definisi 3

• Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A B ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A dan B atau keduanya.

Definisi 4

• Komplemen suatu kejadian A terhadap S ialah himpunan semua unsur S yang tidak termasuk A. Komplemen A dinyatakan dengan lambang A’.

Menghitung Titik Sampel

• Teorema 1:

Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2 cara.

• Contoh : Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel sepasang dadu dilantunkan satu kali.

Teorema 2:

• Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara , dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebuat operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1n2…nk cara.

• Contoh : Berapa macam hidangan dapat disajikan jika masing-masing hidangan dapat terdiri dari sop, nasi goreng, bakmi, dan soto bila tersedia 4 macam soto, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4 macam soto.

Teorema 3

• Banyak permutasi n benda yang berlainan adalah n! Suatu permutasi ialah suatu susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya.

• Contoh : Permutasi empat huruf a,b,c, dan d adalah 4!=24

Menentukan Ruang Sampel Suatu Percobaan

Ada tiga cara yang biasa digunakan untuk menentukan ruang sampel suatu percobaan, yaitu:

a. Cara Mendaftar

Seperti yang telah kita pelajari di atas, dalam percobaan melempar dadu bermata enam, kita tidak dapat memastikan mata dadu mana yang muncul. Tetapi himpunan mata dadu yang mungkin muncul dan anggota-anggota dari ruang sampel bisa kita ketahui. Ruang sampel dari dadu bermata enam adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6) dan titik sampelnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jadi ruang sampel diperoleh dengan cara mendaftar semua hasil yang mungkin. Titik sampel adalah semua anggota dari ruang sampel.

b. Diagram Pohon

Misal dalam melakukan percobaan melempar sebuah mata uang logam sebanyak 3 kali, dengan sisi angka (A) dan sisi gambar (G).

Dari diagram pohon berikut kita dapat menuliskan dengan mudah ruang sampelnya, yaitu

S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}

c. Tabel

Misal kita mempunyai uang logam dengan 2 kali pelemparan. Maka dengan tabel diperoleh:

Titik sampel: (AA), (AG), (GA), (GG)

Ruang sampel (S): {(AA), (AG), (GA), (GG)}

Dengan menggunakan diagram pohon dan tabel kita bisa mencari titik sampel dan ruang sampel dari dua buah alat atau lebih.

Menghitung Peluang Kejadian

1. Peluang pada Ruang Sampel

Pada percobaan melempar satu kali dadu bermata enam, dan kemungkinan mata dadu yang keluar ada enam buah, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6; sebut saja ada 6 buah kejadian yang mungkin muncul. Jika A merupakan peristiwa muncul mata dadu 5, di mana mata dadu 5 merupakan salah satu kejadian dari enam kejadian yang mungkin muncul dari setiap pelemparan dadu. Jika dadu ituseimbang atau kondisi sama, maka peluang muncul 5 yaitu 1 / 6

Jika dituliskan dalam rumus, peluang terjadinya peristiwa A yang dilambangkan P(A) adalah:

2. Peluang dengan Frekuensi Relatif

Jika kita melemparkan sebuah mata uang logam sebanyak 6 kali, ternyata muncul sisi gambar (G) sebanyak 3 kali, dan sisi angka (A) sebanyak 2 kali maka frekuensi relatif dari munculnya sisi gambar adalah = 0,5 dan frekuensi relatif dari munculnya sisi angka adalah = 0,33.

Jadi, jika ada percobaan sebanyak n kali, ternyata muncul kejadian A sebanyak n1, kali dan B sebanyak n2 kali sehingga (n1 + n2 = n), maka frekuensi relatif dari munculnya A adalah n1/n.

PELUANG MATEMATIKA

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian 
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian 
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian 
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : 

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian 
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

1. Gabungan Dua Kejadian 
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku:

   

Catatan :  dibaca “ Kejadian A atau B dan    dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas 
Untuk setiap kejadian berlaku   .

Jika  . Sehingga  . Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3. Kejadian Bersyarat 
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika    adalah peluang terjadinya A dan B, maka  . Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4. Teorema Bayes 
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :  

5. Kejadian saling bebas Stokhastik 
Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

SEBARAN PELUANG

1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang. 
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap  maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :

2. Sebaran Binom 
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
 untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan  

P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal

CONTOH KASUS:

Misalkan dilemparkan 2 buah mata dadu secara bersamaan, maka peluang muncul mata dadu pertama prima dan dadu kedua ganjil merupakan peluang dua kejadian saling bebas.

Daftar Pustaka:

·       http://tutupohosali.blogspot.com/2013/04/statistika-ekonomi-ii-teori-peluang.html

·       http://tutupohosali.blogspot.com/2013/04/statistika-ekonomi-ii-peluang-kejadian.html

·       http://aulianareswara.blogspot.com/2012/12/peluang-statistika-teori-peluang.html

·       http://www.rumus.web.id/matematika/peluang-permutasi-kombinasi-matematika/