1.
Kuartil
Dalam dunia statistik, yang dimaksud dengan kuartil ialah titik atau skor atau
nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam empat bagian yang sama
besar, yaitu masing masing sebesar ¼ N. jadi disini akan kita jumpai tiga buah
kuartil, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga
(Q3). Ketiga kuartil inilah yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data
yang kita selidiki menjadi empat bagian yang sama besar, masing-masing sebesar
¼ N, seperti terlihat dibawah ini
Jalan pikiran serta metode yang digunakan adalah sebagaimana yang telah kita
lakukan pada saat kita menghitung median. Hanya saja, kalau median membagi
seluruh distribusi data menjadi dua bagian yang sama besar, maka kuartil membagiseluruh
distribusi data menjadi empat bagian yang sama besar. Jika kita
perhatikan pada kurva tadi, maka dapat ditarik pengertian bahwa Q2 adalah sama
dengan Median(2/4 N=1/2 N).
Untuk mencari Q1,Q2 dan Q3 digunakan rumus sebagai berikut:
·
untuk data tunggal
Qn = 1 +
( n/4N-fkb)
fi
·
untuk data kelompok
Qn = 1 + (n/4N-fkb)x i
Fi
Qn = kuartil yang ke-n. karena titik kuartil ada tiga
buah, maka n dapat diisi dengan bilangan: 1,2, dan 3.
1 = lower limit ( batas bawah nyata dari skor atau
interval yang mengandung Qn).
N= Number of cases.
Fkb= frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor
atau interval yang mengandung Qn.
Fi= frekuensi aslinya (yaitu frekuensi dari skor atau
interval yang mengandung Qn).
i= interval class atau kelas interval.
Catatan: - istilah skor berlaku untuk data tunggal.
- istilah interval berlaku untuk data kelompok.
Berikut ini akan dikemukakan masing-masing sebuah
contoh perhitungan kuartil ke-1, ke-2, dan ke-3 untuk data yang tunggal dan
kelompok.
1). Contoh perhitungan kuartil untuk data tunggal
Misalkan dari 60 orang siswa MAN Jurusan IPA diperoleh nilai hasil EBTA bidang
studi Fisika sebagaimana tertera pada table distribusi frekuensi berikut ini.
Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3 (artinya data tersebut akan kita bagi
dalam empat bagian yang sama besar), maka proses perhitungannya adalah sebagai
berikut:
Table 3.11. Distribusi frekuensi nilai hasil Ebta
dalam bidang studi fisika dari 60 orang siswa MAN jurusan ipa, dan perhitungan
Q1, Q2, dan Q3.
|
Nilai
(x)
|
F
|
Fkb
|
|
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
|
2
2
3
5
F1
(8)
10
F1
(12)
F1
(6)
5
4
2
1
|
60=
N
58
56
53
48
40
30
18
12
7
3
1
|
A. Titik
Q1= 1/4N = ¼ X 60 = 15 ( terletak pada skor 39). Dengan demikian dapat kita
ketahui: 1= 38,50; fi = 6; fkb = 12
Q1
= 1 + ( n/4N-fkb) = 38,50 +(15-12)
Fi
6
=
38,50 +0,50
=
39
B. Titik
Q2= 2/4N = 2/4 X 60 = 30 ( terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita
ketahui: 1= 39,50; fi = 12; fkb = 18
Q2
= 1 + ( n/4N-fkb) = 39,50 +(30-18)
Fi
12
=
39,50 +1,0
=
40,50
C. Titik
Q3= 3/4N = 3/4 X 60 = 45 ( terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita
ketahui: 1= 41,50; fi = 8; fkb = 40
Q3
= 1 + ( n/4N-fkb) = 41,50 +(45-40)
Fi
8
=
41,50+ 0,625
=
42,125
2). Contoh perhitungan kuartil untuk data kelompok
Misalkan dari 80 orang siswa MAN jurusan IPS diperoleh skor hasil EBTA dalam
bidan studi tata buku sebagaimana disajikan pada tabel distribusi frekuensi
beikut ini ( lihat kolom 1 dan 2). Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3, maka
proses perhitungannya adalah sebagai berikut:
A. Titik
Q1= 1/4N = ¼ X 80 = 20 ( terletak pada interval 35-39). Dengan demikian dapat
kita ketahui: 1= 34,50; fi = 7; fkb = 13, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 34,50 +(20-13)
X5
Fi
7
= 34,50 +5
= 39,50
B.
Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 80 = 40 ( terletak pada
interval 45-49). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 44,50; fi = 17; fkb =
35, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 44,50 +(40-35)
X5
Fi
17
= 44,50 +1.47
= 45,97
C.
Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 80 = 60 ( terletak pada
interval 55-59). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 54,50; fi = 7; fkb =
59, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 54,50 +(55-59)
X5
Fi
7
= 54,50 + 0,71
= 55,21
Tabel 3.12. distribusi frekuensi skor-skor hasil EBTA
bidang studi tata buku dari 80 orang siswa man jurusan ips, berikut perhitungan
Q1,Q2, dan Q3.
|
Nilai (x)
|
F
|
Fkb
|
|
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
25-29
20-24
|
3
5
6
7
7
17
15
7
6
5
2
|
80
77
72
66
59
52
35
20
13
7
2
|
|
Total
|
80= N
|
-
|
Diantara kegunaan kuartil adalah untuk mengetahui
simetris (normal) atau a simetrisnya suatu kurva. Dalam hal ini patokan yang
kita gunakan adalah sebagai berikut:
1). Jika Q3-Q2 = Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva
normal.
2). Jika Q3-Q2 > Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva
miring/ berat ke kiri(juling positif).
3). Jika Q3-Q2 < Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva
miring/ berat ke kanan(juling negatif).
2.
Rata-rata Ukur (Geometric Mean)
a. Pengertian Nilai Rata-rata Ukur
Nilai
rata-rata ukur dari sekelompok bilangan ialah hasil perkalian bilangan
tersebut, diakar pangkatkan sebanyaknya bilangan itu sendiri.
Rata rata
ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data khususnya bila data tersebut
mempunyai ciri tertentu yaitu banyaknya nilai data yang satu sama lain saling
berkelipatan sehingga perbandingan tiap dua data yang berurutan tetap atau
hampir tetap. Bila suatu kelompok data mempunyai ciri seperti ini maka rata
rata ukur akan lebih baik dari pada rata rata hitung.
b.
Cara menghitung nilai rata-rata ukur
Rata rata
ukur G dari kelompok data Xi , X2 , X3 , …Xn
didefinisikan sebagai berikut
·
Untuk Data Tidak Berkelompok
n
G
= √ ( X1, X2, X3….Xn
)
Untuk Data yang Kecil
( ∑ log X )
G = antilog (
------------------- ) Untuk Data yang
Besar
∑ n
·
Untuk Data Berkelompok
( ∑ f . log X )
G = antilog (
------------------- )
∑
f
Contoh: Tentukan rata rata
ukur (GEOMETRIC MEAN) data 2, 4, 8
Jawab:
n = 3
Log 2 = 0,3010
Log 4 = 0,6021
Log 8 = 0,9031
Maka Log 2 + Log 4 + Log 8
= 0,3010 + 0,6021 + 0,9031 = 1,8062
( ∑ log X )
G = antilog (
-------------------
)
∑
n
( Log 2 + Log 4 + Log 8 )
G = antilog (
-------------------------------------
)
3
( 1,8062 )
G = antilog (
------------------ ) = antilog 0,6021 = 4
3
3. Rata-Rata Harmonik
Rata-rata harmonik dari
suatu kumpulan data x1, x2, …, xn adalah
kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat
dinyatakan dengan formula berikut:
Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.
Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.
a.
Rata-rata harmonic untuk data tunggal
Contoh 1:Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?
Jawab:Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam!
Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!
Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:
b.
Rata-rata Harmonik untuk Distribusi Frekuensi:
Contoh 2:
Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 pada Tendensi Sentral: Mean!
Jawab:
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
xi
|
fi/xi
|
|
1
|
31 – 40
|
2
|
35.5
|
0.0563
|
|
2
|
41 – 50
|
3
|
45.5
|
0.0659
|
|
3
|
51 – 60
|
5
|
55.5
|
0.0901
|
|
4
|
61 – 70
|
13
|
65.5
|
0.1985
|
|
5
|
71 – 80
|
24
|
75.5
|
0.3179
|
|
6
|
81 – 90
|
21
|
85.5
|
0.2456
|
|
7
|
91 – 100
|
12
|
95.5
|
0.1257
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
1.1000
|
DAFTAR PUSTAKA:
http://fisikaiain2010.blogspot.com/2012/06/kelompok-6-statistik.html
